chung minh a=b=c, suy ra M=1

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{\left(ab+ac\right)+\left(ba+bc\right)-\left(ca+cb\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}\)

Tương tự \(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2bc}{5}\)

\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2ac}{3}\)

Do đó \(\frac{2ab}{1}=\frac{2bc}{5}\Rightarrow\frac{a}{1}=\frac{c}{5}\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{c}{15}\)

\(\frac{2bc}{5}=\frac{2ac}{3}\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{a}{3}\)

Do vậy \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{\left(ab+ac\right)+\left(ba+bc\right)-\left(ca+cb\right)}{2+3-4}=\frac{2ab}{1}$

Tương tự $\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{}$

nhầm sorry đừng để ý

\(ab-ac+bc=c^2-1\)

\(\Rightarrow ab-ac+bc-c^2=-1\)(quy tắc chuyển vế)

\(\Rightarrow a\left(b-c\right)+c\left(b-c\right)=-1\)

\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b-c\right)=-1\)

Mà \(-1=\left(-1\right)\times1\) hoặc \(1\times\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+c\right)=-1;\left(b-c\right)=1\)         (1)

hoặc \(\left(a+c\right)=1;\left(b-c\right)=-1\)      (2)

Xét (1), ta có:

\(a+c=-1\)                                   \(b-c=1\)

\(a=\left(-1\right)-c\)                              \(b=1+c\)

\(a=\left(-1\right)+\left(-c\right)\)     

\(a=-\left(1+c\right)\)

Từ đó ta có \(\frac{a}{b}=\frac{-\left(1+c\right)}{1+c}=-1\)

Xét (2), ta có:

\(a+c=1\)                  \(b-c=-1\)

\(a=1-c\)                  \(b=\left(-1\right)+c\)

\(a=1+\left(-c\right)\)         \(b=+\left(c-1\right)\)

\(a=-\left(c-1\right)\)

Từ đó ta có \(\frac{a}{b}=\frac{-\left(c-1\right)}{+\left(c+1\right)}=-1\)

Từ kết quả của hai trường hợp (1) và (2), ta có:

\(\frac{a}{b}=-1\)

Vậy \(\frac{a}{b}=-1\)

P/S: Những kết quả của a và b ở mỗi trường hợp là áp dụng quy tắc ( ghi nhớ ) trong SGK nha bạn.